Cálculo superior

Abstract

Este libro está diseñado como una herramienta de apoyo y referencia para estudiantes de nivel universitario que cursan asignaturas de cálculo superior, particularmente en el ámbito de las ecuaciones diferenciales. Su estructura responde a una progresión lógica de contenidos. El Capítulo 1 introduce las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de primer orden. Se estudian sus definiciones básicas, clasificación, problemas de valor inicial y de frontera, así como los métodos clásicos de solución: variables separables, ecuaciones homogéneas, exactas, con factor integrante y ecuaciones lineales. También se abordan aplicaciones prácticas, incluyendo trayectorias ortogonales y oblicuas, así como sistemas de EDO y ecuaciones diferenciales implícitas. Este capítulo sienta las bases conceptuales esenciales para todo el desarrollo posterior. El Capítulo 2 se enfoca en las EDO de orden superior, con énfasis en las ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes. Se presentan métodos como la variación de parámetros, el uso de operadores, y la resolución de ecuaciones de Cauchy-Euler. Se incluyen también aplicaciones como el estudio del movimiento vibratorio y la flexión de vigas, además de técnicas avanzadas como la serie de potencias y el método de Frobenius. El capítulo culmina con el estudio detallado de la transformada de Laplace y su aplicación en la resolución de sistemas lineales. El Capítulo 3 introduce las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), clasificándolas según orden, número de variables y tipo de linealidad. Se abordan las formas canónicas de segundo orden (parabólica, hiperbólica y elíptica), y se estudian a profundidad las ecuaciones del calor, la difusión, y sus condiciones de frontera. Se emplean herramientas como el método de separación de variables y las series de Fourier, incluyendo sus variantes y criterios de convergencia, fundamentales para el tratamiento de problemas físicos reales. El Capítulo 4 desarrolla el uso de transformadas integrales (Laplace, Fourier, seno y coseno) en la resolución de EDP. Se presentan propiedades, funciones especiales como la función error y la convolución, y su aplicación en la solución de ecuaciones hiperbólicas, de onda y elípticas. Asimismo, se abordan los problemas con condiciones de frontera (Dirichlet, Neumann, Robin), el uso de la función de Green y métodos numéricos para la aproximación de soluciones.